Lois de Newton
A / Solide pseudo-isolé
Un solide est pseudo isolé s'il est soumis à des actions extérieures qui se compensent.
Exemple : Mobile sur coussin d’air.
Remarque: Un solide est isolé s'il n'est soumis à aucune action extérieure.
B / Première loi de Newton : Principe d'inertie
1 / Exemple
On lance un mobile à coussin d'air sur une table horizontale : son mouvement est rectiligne (trajectoire droite) et uniforme (vitesse instantanée constante).
Le vecteur vitesse du centre d'inertie du mobile est constant: = .
Etude du mobile :
Système : le mobile
Référentiel terrestre supposé galiléen
Bilan des forces agissant sur le mobile . son poids et la réaction de la table.
On peut admettre que ces deux forces ont même valeur ( R = P ).
En effet :
. si on avait P > R, le mobile s’enfoncerait dans la table (non observé).
. si on avait P < R, le mobile s'élèverait au dessus de la table (absurde).
On en déduit = - <=> + = .
2 / Énoncé du principe d'inertie
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie G d'un solide isolé ou pseudo isolé possède un mouvement rectiligne uniforme (le vecteur vitesse du centre d'inertie est constant).
Réciproquement, dans un référentiel galiléen, si le centre d'inertie d'un solide possède un mouvement rectiligne uniforme, alors la somme des forces qui s'exercent sur ce solide est nulle.
Remarque:
Un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié est dit galiléen.
Le référentiel terrestre (pour une courte durée : voir le mouvement des étoiles dans le ciel), le référentiel géocentrique et le référentiel héliocentrique sont considérés comme galiléens.
3 / Condition d'équilibre du centre d'inertie d'un système
L'immobilité est un cas particulier du mouvement rectiligne uniforme. Un système en équilibre est un système pour lequel, dans le référentiel considéré, on peut écrire = . Le cas du système en équilibre est donc un cas particulier du principe d'inertie.
4 / Exemple: détermination de la réaction d'un plan incliné
Problème:
Un solide de masse m peut glisser sans frottements sur un plan incliné d'angle a. Il est soutenu par un fil tendu. Déterminer la réaction du plan incliné ainsi que la tension du fil.
Etude du système :
Système : solide de masse m.
Référentiel terrestre (galiléen par approximation).
Bilan des forces : le système est soumis à 3 forces extérieures :
Son poids :
Force répartie à distance.
Direction: verticale.
Sens: vers le bas.
Point d'application: centre d'inertie du système.
La réaction normale du plan incliné :
Force répartie de contact.
Direction: verticale.
Sens: vers le haut .
Point d'application: centre de la surface de contact.
La tension du fil :
Force localisée de contact.
Direction: parallèle au plan incliné.
Sens: vers le haut.
Point d'application: point d'attache du fil.
Schéma :
Première loi de Newton: Le système est en équilibre (principe d’inertie ), donc : + + = .
Rappel ( coordonnées de vecteurs dans un repère ) :
cos a = Px / P
sin a = Py / P
tan a = Py / Px
Application au schéma :
Dans le repère associé au référentiel (voir schéma):
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sur ox: -T + P.sin(a) = 0.
sur oy: RN - P.cos(a) = 0. |
<=> |
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T = m.g.sin(a)
RN = m.g.cos(a) |
C / Deuxième loi de Newton
1 / Exemple
Un mobile à coussin d'air est relié par un fil à un axe fixe. On le lance : il effectue un mouvement circulaire uniforme
Etude un : résultante des forces
Mesures expérimentales :
Etude du système :
Système : le mobile
Référentiel terrestre supposé galiléen
Bilan des forces agissant sur le mobile :
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Son poids .
La réaction de la table.
La tension du fil. |
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On peut admettre que P et R ont même valeur. En effet, |
. Si on avait P > R, le mobile s'enfoncerait dans la table (non observé).
. Si on avait P < R, le mobile s'élèverait au dessus de la table (absurde).
Remarque : la tension est perpendiculaire au poids et à la réaction normale : aucune influence.
On en déduit =- et la somme des forces appliquées au solide s'écrit
Le vecteur est donc dirigé vers le point O (point d'attache du fil : représenter la tension sur le schéma précédent).
Etude 2 : variation de vitesse du centre d’inertie
On étudie alors la variation de vitesse du centre d’inertie du mobile durant son mouvement uniforme circulaire.
La valeur de la vitesse instantanée du vecteur vitesse du centre d’inertie est constante, mais sa direction chante à chaque instant (mouvement circulaire).
Schéma :
Soit D le vecteur représentant la variation du vecteur vitesse du centre d'inertie du mobile entre deux points proches. Ce vecteur est lui aussi dirigé vers le point O.
2 / Approche de la deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse G du centre d'inertie d'un solide varie, la somme ( ) des forces extérieures qui agissent sur ce solide n'est pas nulle. La direction et le sens de cette somme sont ceux de la variation de G entre deux instants proches.
D / Principe des actions réciproques (troisième loi de Newton)
1 / Principe
Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une force A/B, alors le corps B exerce sur le corps A une force B/A telle que :
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A/B = - B/A |
=> |
A/B + B/A = |
2 / Exemples
E / Méthodologie pour résoudre un problème utilisant le principe d'inertie
Pour résoudre un tel problème, il faut procéder par étapes:
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Méthode |
Exemple |
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1 ) Définir le système étudié. |
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Système étudié: Le mobile. |
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2 ) Déterminer le référentiel
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Référentiel terrestre
(supposé galiléen ) |
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3 ) Faire le bilan des forces extérieures agissant sur ce système. |
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Forces extérieures:
: Poids du mobile.
( Force répartie à distance ).
: Réaction du support.
( Force répartie de contact ).
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4 ) Énoncer la première loi de Newton (ou principe d'inertie):
Si G est constant, ou si le système est à l’équilibre (immobile), on peut écrire :
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5 ) Choisir un repère associé au référentiel. |
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Repère : voir schéma.
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6 ) Projeter la relation vectorielle précédente sur les axes. |
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Projection sur ox: 0+0=0
Projection sur oy: -P+R=0
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F / Astuces de résolution : projections vectorielles
Projeter une relation vectorielle consiste à transformer une relation entre vecteurs en une ou plusieurs relations faisant intervenir les coordonnées de ces vecteurs.
Soient Fx et Fy les coordonnées du vecteur dans le repère choisi.
Cas 1 :
Si le vecteur est colinéaire (même direction) à l'un des axes, alors l'une de ses coordonnées est nulle.
Vecteur : Coordonnée selon ox : Rx=0
Coordonnée selon oy : Ry=R
Vecteur : Coordonnée selon ox : Px=0
Coordonnée selon oy : Py=-P
Cas 2 :
Si le vecteur est quelconque et si l'on connaît un angle existant entre , Fx ou Fy, il est nécessaire d'utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle.
Vecteur : Coordonnée selon ox : Fx = F . cos ( a )
Coordonnée selon oy : Fy = F . sin ( a )
Cas 3 :
Les coordonnées sont des valeurs algébriques, c'est à dire qu'elles peuvent être négatives.
Vecteur : Coordonnée selon ox : Fx = F . cos ( a )
Coordonnée selon oy : Fy = - F . sin ( a )
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