T.P. de Physique

La méthode d’Eratosthène

Remarque : le document avec son compte rendu sera ramassé et noté.

A / Travail préparatoire : méthode historique

Lire le livre page 19 sans répondre aux questions.

La première détermination du rayon de la Terre fut réalisée deux siècles avant notre ère par Eratosthène qui appartenait à l’école d’Alexandrie. Son calcul repose sur une idée simple : le Soleil est si éloigné de la Terre que sa lumière peut être représenté par des rayons parallèles. Or Eratosthène avait lu qu’à Syène, ville située sur le tropique du Cancer (nord), la lumière tombait verticalement, atteignant le fond des puits à midi, le jour du solstice d’été. Tandis qu’à Alexandrie, ville située plus au nord, cela ne se produisait pas. La lumière arrivait à la même heure en faisant un angle dû, pensait-il, à la courbure de la Terre. Il planta alors à Alexandrie un bâton vertical et mesura l’angle entre le bâton et la direction des rayons solaires (voir schéma) ; il trouva 1/50^ème de cercle. Eratosthène savait également que les caravanes de chameaux partant de Syène mettaient 50 jours pour arriver à Alexandrie en parcourant 100 stades par jour (un stade équivaut à 160 m).

Schéma : vous pouvez aussi utiliser le schéma document 21 page 19 du livre.

Questions :

1) Quelle est la position particulière de Syène sur la Terre ?

2) Pourquoi Eratosthène doit-il faire la mesure à midi et le 21 juin (solstice d’été) ?

3) Calculer l’angle a que font les rayons du Soleil avec la verticale (le bâton) d’Alexandrie.

4) Calculer la distance d Syène – Alexandrie.

5) Montrer le calcul permettant de calculer la circonférence P de la Terre. En déduire le rayon r.

6) Trouver différentes causes d’erreurs possibles faussant la mesure d’Eratosthène.

B / Application : maquette pour la méthode d’Eratosthène : mesure du rayon d’une sphère

Remarque : cette deuxième partie est à rédiger sur la feuille polycopiée (une par groupe) qui sera rendue au professeur et donc notée.

On utilise la méthode d’Eratosthène pour déterminer le rayon d’un disque qui symbolise « la Terre ».

Le projecteur au fond de la salle représente « le Soleil » ; l’une des tiges métalliques symbolise « l’Obélisque » à Alexandrie et l’autre tige métallique symbolise « le Puits » à Syène, dont le Soleil éclaire le fond (donc on ne doit pas voir l’ombre de cette deuxième tige, les rayons étant à la verticale).

1 / Pourquoi le projecteur doit-être aussi loin de l’écran avec le disque ?

2 / Effectuer les mesures suivantes :

. distance entre les deux tiges :                                                 D = ……………..……… .

. longueur de l’ombre :                                                           d = ……………...……… .

. longueur de la tige symbolisant l’obélisque :                  L = …………………...… .

3 / Faire un schéma, par analogie avec celui du livre (document 21 page 19), sur lequel apparaît clairement la longueur de l’ombre d, la longueur de la tige symbolisant l’obélisque L, et l’angle a.

3 / Mesure de l’angle a :

            a / Exprimer  tan a en fonction de d et L.

            b / Calculer tan a en tenant compte des chiffres significatifs.

            c / Calculer a (en degrés) en utilisant la touche tan^-1 de votre calculatrice.

4 / Sachant que le cercle équivaut à 360 ° (ou 2.p radian), et que a est proportionnel à l’arc de cercle correspondant, déterminer le périmètre ( P ) du disque en fonction de D (longueur entre les deux tiges), a, et l’angle total du cercle ( 360 ° ).Donner son expression littérale et exprimer le résultat en tenant compte des chiffres significatifs.

6 / Calculer alors le rayon R du disque (faire apparaître l’expression littérale et donner le résultat en tenant compte des chiffres significatifs ; rappel : 360 ° = 2.p radian) :